微分積分例

$y = \ln (x^{\frac{9}{2}})$ ; $(1, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{9}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{9}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{9}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$

ステップ 1.2

$n = \frac{9}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1})$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}})$

ステップ 1.6.2

$9$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}})$

ステップ 1.7

$\frac{9}{2}$ と $x^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$

ステップ 1.8

$\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ に $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{9}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.9

式を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$2$ を $x^{\frac{9}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{9}{2}}}$

ステップ 1.9.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{7}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{9}{2 x^{\frac{9}{2}} x^{- \frac{7}{2}}}$

ステップ 1.10

分母を簡約します。

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ステップ 1.10.1

指数を足して $x^{\frac{9}{2}}$ に $x^{- \frac{7}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.10.1.1

$x^{- \frac{7}{2}}$ を移動させます。

$\frac{9}{2 (x^{- \frac{7}{2}} x^{\frac{9}{2}})}$

ステップ 1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9}{2 x^{- \frac{7}{2} + \frac{9}{2}}}$

ステップ 1.10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9}{2 x^{\frac{- 7 + 9}{2}}}$

ステップ 1.10.1.4

$- 7$ と $9$ をたし算します。

$\frac{9}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.10.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{9}{2 x^{1}}$

ステップ 1.10.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{9}{2 x}$

ステップ 1.11

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{9}{2 (1)}$

ステップ 1.12

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{2}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{9}{2}$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = \frac{9}{2} \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{9}{2} \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.2

$\frac{9}{2} \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{9}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 1$

ステップ 2.3.2.3

$\frac{9}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.3.1

$\frac{9}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 1}{2}$

ステップ 2.3.2.3.2

$9$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{9}{2} x - \frac{9}{2}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例