微分積分例

$8 x^{2} + 2 y^{2} = 16$ , $(1, - 2)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = - 2$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

ステップ 1.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $8 x^{2} + 2 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $8$ をかけます。

$16 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$16 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$16 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$16 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$16 x + 2 (2 y y')$

ステップ 1.2.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$16 x + 4 y y'$

ステップ 1.2.4

項を並べ替えます。

$4 y y' + 16 x$

ステップ 1.3

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 1.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 y y' + 16 x = 0$

ステップ 1.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 1.5.1

方程式の両辺から $16 x$ を引きます。

$4 y y' = - 16 x$

ステップ 1.5.2

$4 y y' = - 16 x$ の各項を $4 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$4 y y' = - 16 x$ の各項を $4 y$ で割ります。

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

ステップ 1.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

ステップ 1.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

ステップ 1.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

ステップ 1.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 16 x}{4 y}$

ステップ 1.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.5.2.3.1

$- 16$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.1

$4$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.3.1.2.1

$4$ を $4 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 (y)}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

ステップ 1.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

ステップ 1.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 x}{y}$

ステップ 1.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

ステップ 1.7

$y = - 2$ と $x = 1$ における値を求めます。

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ステップ 1.7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$- \frac{4 (1)}{y}$

ステップ 1.7.2

式の変数 $y$ を $- 2$ で置換えます。

$- \frac{4 (1)}{- 2}$

ステップ 1.7.3

$4$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.3.1

$2$ を $4 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{- 2}$

ステップ 1.7.3.2

$\frac{2 \cdot 1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- (- 1 \cdot (2 \cdot 1))$

ステップ 1.7.4

$- 1 \cdot (2 \cdot 1)$ を $- (2 \cdot 1)$ に書き換えます。

$- - (2 \cdot 1)$

ステップ 1.7.5

$- - (2 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 1.7.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- (- 1 \cdot 2)$

ステップ 1.7.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- - 2$

ステップ 1.7.5.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(1, - 2)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 2 = 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y + 2 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 2 = 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 2 = 2 x + 2 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + 2 = 2 x - 2$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$y = 2 x - 2 - 2$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ から $2$ を引きます。

$y = 2 x - 4$

ステップ 3

微分積分 例

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