微分積分例

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ at $(2, \frac{11}{3})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = \frac{11}{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{2}{3} x^{2} - 2 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3} x^{2}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.3

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.5

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 x}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x}{3} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x}{3} - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 x}{3} - 2 + 0$

ステップ 1.4.2

$\frac{4 x}{3} - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x}{3} - 2$

ステップ 1.5

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{4 (2)}{3} - 2$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3} - 2$

ステップ 1.6.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{8}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 1.6.3

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 1.6.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.5.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 - 6}{3}$

ステップ 1.6.5.2

$8$ から $6$ を引きます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $\frac{2}{3}$ と与えられた点 $(2, \frac{11}{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{11}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{2}{3} \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{11}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.4

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2$

ステップ 2.3.1.5

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1.5.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3}$

ステップ 2.3.1.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{11}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{11}{3}$ を足します。

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{11}{3}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x - 4 + 11}{3}$

ステップ 2.3.2.3

$- 4$ と $11$ をたし算します。

$y = \frac{2 x + 7}{3}$

ステップ 2.3.2.4

分数 $\frac{2 x + 7}{3}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

ステップ 3

微分積分 例

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