微分積分例

$f (x) = {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 4$

ステップ 1

$x = 4$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = {(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.2

${(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$6$ に $4$ をかけます。

$y = {(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.2.1.2

$24$ から $8$ を引きます。

$y = 16^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.2.1.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = 4^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$y = 4^{1}$

ステップ 1.2.2.3

指数を求めます。

$y = 4$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 6 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $6 x - 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 8]$

ステップ 2.7

総和則では、 $6 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.8

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.10

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

ステップ 2.12

項を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

ステップ 2.12.2

$\frac{1}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 2.13.1

$2$ を $2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{{(6 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{3}{{(6 (4) - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15

分母を簡約します。

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ステップ 2.15.1

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{{(24 - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.2

$24$ から $8$ を引きます。

$\frac{3}{16^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.15.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.15.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{4^{1}}$

ステップ 2.15.6

指数を求めます。

$\frac{3}{4}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{3}{4}$ と与えられた点 $(4, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

ステップ 3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$y - 4 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 4 = \frac{3 x}{4} - 3$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 4$

ステップ 3.3.2.2

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{3 x}{4} + 1$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{3}{4} x + 1$

ステップ 4

微分積分 例

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