微分積分例

$y = x^{2} - 4 x + 4$ at $(1, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 4 + 0$

ステップ 1.3.2

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 4$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$2 (1) - 4$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 4$

ステップ 1.5.2

$2$ から $4$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(1, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 2 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y - 1 = - 2 x + 2$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = - 2 x + 2 + 1$

ステップ 2.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = - 2 x + 3$

ステップ 3

微分積分 例

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