微分積分例

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{4}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{π}{4}$ を $x$ に代入します。

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 1.2.2

$2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

ステップ 1.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.2.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$y = 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{4}$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.14

$x = \frac{π}{4}$ で微分係数を求めます。

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15

簡約します。

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ステップ 2.15.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.15.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.15.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3.4.2

式を書き換えます。

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.3.5

指数を求めます。

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.5.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.5.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.6.1

共通因数を約分します。

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.6.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

ステップ 2.15.1.8

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 2.15.1.9

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 2.15.1.10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.10.4.1

共通因数を約分します。

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10.4.2

式を書き換えます。

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.10.5

指数を求めます。

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

ステップ 2.15.1.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.12.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

ステップ 2.15.1.12.2

共通因数を約分します。

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.15.1.12.3

式を書き換えます。

$- 1 + \frac{2}{2}$

ステップ 2.15.1.13

$2$ を $2$ で割ります。

$- 1 + 1$

ステップ 2.15.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $0$ と与えられた点 $(\frac{π}{4}, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$0$ に $x - \frac{π}{4}$ をかけます。

$y - 1 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 1$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例