微分積分例

$y = 8 \sqrt{x}$ , $(4, 16)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = 16$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.8

分数の前に負数を移動させます。

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.10

$8$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.12

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.13.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.13.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.14

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.15

簡約します。

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ステップ 1.15.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.2

指数を足して $4$ に $4^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.15.2.1

$4$ に $4^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 1.15.2.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

ステップ 1.15.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$4^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.3

式を簡約します。

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ステップ 1.15.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.15.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.15.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.15.4.1

共通因数を約分します。

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.15.4.2

式を書き換えます。

$2^{1}$

ステップ 1.15.5

指数を求めます。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(4, 16)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

ステップ 2.3.1.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$y - 16 = 2 x - 8$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$y = 2 x - 8 + 16$

ステップ 2.3.2.2

$- 8$ と $16$ をたし算します。

$y = 2 x + 8$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例