微分積分例

$x y = 15$ , $x = 5$

ステップ 1

$x = 5$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$(5) \cdot y = 15$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$5$ に $y$ をかけます。

$5 \cdot y = 15$

ステップ 1.2.2

$5 \cdot y = 15$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$5 \cdot y = 15$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot y}{5} = \frac{15}{5}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{15}{5}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$15$ を $5$ で割ります。

$y = 3$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = 3$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (15)$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y$

ステップ 2.3

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + y = 0$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' = - y$

ステップ 2.5.2

$x y' = - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$x y' = - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

ステップ 2.5.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{x}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{x}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

ステップ 2.7

$y = 3$ と $x = 5$ における値を求めます。

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ステップ 2.7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$- \frac{y}{5}$

ステップ 2.7.2

式の変数 $y$ を $3$ で置換えます。

$- \frac{3}{5}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- \frac{3}{5}$ と与えられた点 $(5, 3)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (3) = - \frac{3}{5} \cdot (x - (5))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 3 = - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{3}{5} \cdot (x - 5)$

ステップ 3.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - 3 = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.3.1

$- \frac{3}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 5$

ステップ 3.3.1.2.3.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 1))$

ステップ 3.3.1.2.3.3

共通因数を約分します。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.2.3.4

式を書き換えます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.2.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y - 3 = - \frac{x \cdot 3}{5} + 3$

ステップ 3.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - 3 = - \frac{3 x}{5} + 3$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = - \frac{3 x}{5} + 3 + 3$

ステップ 3.3.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{5} + 6$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{3}{5} x) + 6$

ステップ 3.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{5} x + 6$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例