微分積分例

$f (x) = (x^{3} + 4) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 5)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{3} + 4$ および $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 4 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$(x^{3} + 4) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$(x^{3} + 4) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 4) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$(x^{3} + 4) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.5

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.8

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.9

$6 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

ステップ 1.2.10

総和則では、 $x^{3} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.2.11

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.2.12

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

ステップ 1.2.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.13.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

ステップ 1.2.13.2

$3$ を $3 x^{2} - 4 x + 2$ の左に移動させます。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$(x^{3} + 4) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$(x^{3} + 4) (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + (x^{3} + 4) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.5

分配則を当てはめます。

$x^{3} (6 x) + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.1.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.2

$6$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.3

$6$ に $4$ をかけます。

$6 x^{4} + 24 x + x^{3} \cdot - 4 + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.4

$- 4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 \cdot x^{3} + 4 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.5

$4$ に $- 4$ をかけます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.6

$3$ に $3$ をかけます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.7.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.7.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.8

$- 4$ に $3$ をかけます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.9

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.9.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.9.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.9.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

ステップ 1.3.6.10

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 1.3.6.11

$6 x^{4}$ と $9 x^{4}$ をたし算します。

$15 x^{4} + 24 x - 4 x^{3} - 16 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 1.3.6.12

$- 4 x^{3}$ から $12 x^{3}$ を引きます。

$15 x^{4} + 24 x - 16 x^{3} - 16 + 6 x^{2}$

ステップ 1.3.7

項を並べ替えます。

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 24 x - 16$

ステップ 1.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.2

$15$ に $1$ をかけます。

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.4

$- 16$ に $1$ をかけます。

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.6

$6$ に $1$ をかけます。

$15 - 16 + 6 + 24 (1) - 16$

ステップ 1.5.1.7

$24$ に $1$ をかけます。

$15 - 16 + 6 + 24 - 16$

ステップ 1.5.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.5.2.1

$15$ から $16$ を引きます。

$- 1 + 6 + 24 - 16$

ステップ 1.5.2.2

$- 1$ と $6$ をたし算します。

$5 + 24 - 16$

ステップ 1.5.2.3

$5$ と $24$ をたし算します。

$29 - 16$

ステップ 1.5.2.4

$29$ から $16$ を引きます。

$13$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $13$ と与えられた点 $(1, 5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (5) = 13 \cdot (x - (1))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$13 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 5 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 5 = 13 \cdot (x - 1)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 5 = 13 x + 13 \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.4

$13$ に $- 1$ をかけます。

$y - 5 = 13 x - 13$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 13 x - 13 + 5$

ステップ 2.3.2.2

$- 13$ と $5$ をたし算します。

$y = 13 x - 8$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例