微分積分例

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

ステップ 1

$x = \frac{π}{3}$ で $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{π}{3}$ を $x$ に代入します。

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2

$4 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = 2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = 2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y = 2 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

ステップ 1.2.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.4.1

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$y = 2 (\sqrt{3}) \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.4.2

共通因数を約分します。

$y = 2 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.2.4.3

式を書き換えます。

$y = \sqrt{3}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = \frac{π}{3}$ と $y = \sqrt{3}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (x) \cos (x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.5

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 2.8

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

ステップ 2.9

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

ステップ 2.10

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

ステップ 2.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

ステップ 2.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

ステップ 2.13

簡約します。

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ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

ステップ 2.13.3

$4 \cos^{2} (x)$ を ${(2 \cos (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

ステップ 2.13.4

$4 \sin^{2} (x)$ を ${(2 \sin (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

ステップ 2.13.5

$- {(2 \sin (x))}^{2}$ と ${(2 \cos (x))}^{2}$ を並べ替えます。

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

ステップ 2.13.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 \cos (x)$ であり、 $b = 2 \sin (x)$ です。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

ステップ 2.13.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.8

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 2.13.8.1

分配則を当てはめます。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.8.2

分配則を当てはめます。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.8.3

分配則を当てはめます。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.9

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.13.9.1

$2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ と $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ について因数を並べ替えます。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.9.2

$- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ と $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.9.3

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10

各項を簡約します。

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ステップ 2.13.10.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 2.13.10.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

ステップ 2.13.10.2

$2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 2.13.10.2.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

ステップ 2.13.10.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

ステップ 2.13.10.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

ステップ 2.13.10.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

ステップ 2.13.10.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

ステップ 2.14

$x = \frac{π}{3}$ で微分係数を求めます。

$4 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15

簡約します。

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ステップ 2.15.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.15.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \frac{1}{2^{2}} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.5.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{1}{4}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.5.2

式を書き換えます。

$1 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

ステップ 2.15.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$1 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

ステップ 2.15.1.7

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$1 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.15.1.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.8.4.1

共通因数を約分します。

$1 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8.4.2

式を書き換えます。

$1 - 4 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.8.5

指数を求めます。

$1 - 4 \frac{3}{2^{2}}$

ステップ 2.15.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$1 - 4 (\frac{3}{4})$

ステップ 2.15.1.10

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.15.1.10.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$1 + 4 (- 1) \frac{3}{4}$

ステップ 2.15.1.10.2

共通因数を約分します。

$1 + 4 \cdot - 1 \frac{3}{4}$

ステップ 2.15.1.10.3

式を書き換えます。

$1 - 1 \cdot 3$

ステップ 2.15.1.11

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 - 3$

ステップ 2.15.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 2$ と与えられた点 $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\sqrt{3}) = - 2 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$- 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \sqrt{3} = - 2 \cdot (x - \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \sqrt{3} = - 2 x - 2 (- \frac{π}{3})$

ステップ 3.3.1.4

$- 2 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y - \sqrt{3} = - 2 x + 2 \frac{π}{3}$

ステップ 3.3.1.4.2

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$y - \sqrt{3} = - 2 x + \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\sqrt{3}$ を足します。

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 3.3.3.1

$\sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.3.2

$\sqrt{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = - 2 x + \frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$y = - 2 x + \frac{2 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

ステップ 3.3.3.4

$3$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$y = - 2 x + \frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例