微分積分例

$y = e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ , $(0, 1)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 0$ と $y = 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $e^{x} \cos (x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \cos (x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) + \cos (x)$

ステップ 1.5

$x = 0$ で微分係数を求めます。

$- e^{0} \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 1 \cdot 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 \sin (0) + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 1 \cdot 0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + e^{0} \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 1 \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.6

$\cos (0)$ に $1$ をかけます。

$0 + \cos (0) + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1 + \cos (0)$

ステップ 1.6.1.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1 + 1$

ステップ 1.6.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.6.2.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 + 1$

ステップ 1.6.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(0, 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (1) = 2 \cdot (x - (0))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 1 = 2 \cdot (x + 0)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$y - 1 = 2 x$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = 2 x + 1$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例