微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 15}$ ; $x = 7$

ステップ 1

$x = 7$ で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$7$ を $x$ に代入します。

$y = \sqrt{{(7)}^{2} + 15}$

ステップ 1.2

$\sqrt{{(7)}^{2} + 15}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$7$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt{49 + 15}$

ステップ 1.2.2

$49$ と $15$ をたし算します。

$y = \sqrt{64}$

ステップ 1.2.3

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 1.2.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = 8$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 7$ と $y = 8$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 15}$ を ${(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 15$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 15$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 15]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} + 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [15])$

ステップ 2.10

$15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $15$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 2.11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 2.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.11.5

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(x^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.12

$x = 7$ で微分係数を求めます。

$\frac{7}{{({(7)}^{2} + 15)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{7}{{(49 + 15)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.2

$49$ と $15$ をたし算します。

$\frac{7}{64^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.3

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7}{{(8^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{7}{8^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{7}{8^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.13.5.2

式を書き換えます。

$\frac{7}{8^{1}}$

ステップ 2.13.6

指数を求めます。

$\frac{7}{8}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

傾き $\frac{7}{8}$ と与えられた点 $(7, 8)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (8) = \frac{7}{8} \cdot (x - (7))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 8 = \frac{7}{8} \cdot (x - 7)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{7}{8} \cdot (x - 7)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{7}{8} \cdot (x - 7)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 8 = \frac{7}{8} \cdot (x - 7)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 8 = \frac{7}{8} x + \frac{7}{8} \cdot - 7$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{7}{8}$ と $x$ をまとめます。

$y - 8 = \frac{7 x}{8} + \frac{7}{8} \cdot - 7$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{7}{8} \cdot - 7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{7}{8}$ と $- 7$ をまとめます。

$y - 8 = \frac{7 x}{8} + \frac{7 \cdot - 7}{8}$

ステップ 3.3.1.5.2

$7$ に $- 7$ をかけます。

$y - 8 = \frac{7 x}{8} + \frac{- 49}{8}$

ステップ 3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y - 8 = \frac{7 x}{8} - \frac{49}{8}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{49}{8} + 8$

ステップ 3.3.2.2

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{49}{8} + 8 \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3.3.2.3

$8$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y = \frac{7 x}{8} - \frac{49}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{- 49 + 8 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.5.1

$8$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{- 49 + 64}{8}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 49$ と $64$ をたし算します。

$y = \frac{7 x}{8} + \frac{15}{8}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{7}{8} x + \frac{15}{8}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例