微分積分例

$f (x) = {(\frac{x + 2}{x - 2})}^{2}$ ; $(6, 4)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 6$ と $y = 4$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 2}{x - 2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 2}{x - 2}$ で置き換えます。

$2 \frac{x + 2}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

ステップ 1.2

$2$ と $\frac{x + 2}{x - 2}$ をまとめます。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

ステップ 1.3

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4

式を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.4.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.4.8.3

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ に $\frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.5

指数を足して $x - 2$ に ${(x - 2)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1

$x - 2$ に ${(x - 2)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.5.1.1

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

ステップ 1.5.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6

簡約します。

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ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.2

$x - 2 - x - 1 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.6.3.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{(2 x + 4) (0 - 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.4

$- 2$ から $2$ を引きます。

$\frac{(2 x + 4) \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot - 4 + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.6

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 8 x + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.3.7

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 8 x - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.4

$8$ を $- 8 x - 16$ で因数分解します。

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ステップ 1.6.4.1

$8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x) - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.4.2

$8$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x) + 8 (- 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.4.3

$8$ を $8 (- x) + 8 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x) - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.6

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.8

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.6.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (x + 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.7

$x = 6$ で微分係数を求めます。

$- \frac{8 ((6) + 2)}{{((6) - 2)}^{3}}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

$6$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{8 \cdot 8}{{(6 - 2)}^{3}}$

ステップ 1.8.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.8.2.1

$6$ から $2$ を引きます。

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

ステップ 1.8.2.2

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

ステップ 1.8.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 1.8.3.1

$8$ に $8$ をかけます。

$- \frac{64}{64}$

ステップ 1.8.3.2

$64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.3.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{64}{64}$

ステップ 1.8.3.2.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 1.8.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- 1$ と与えられた点 $(6, 4)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (6))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- 1 \cdot (x - 6)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

ステップ 2.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 6$

ステップ 2.3.1.4.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$y - 4 = - x + 6$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$y = - x + 6 + 4$

ステップ 2.3.2.2

$6$ と $4$ をたし算します。

$y = - x + 10$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例