微分積分例

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 2 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

ステップ 1.2.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 1.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.3.2.3

多項式を書き換えます。

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

ステップ 1.3.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$2 x - 2$ に $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$2$ を $2 x - 2$ で因数分解します。

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ステップ 1.3.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$x - 1$ と ${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.1

$x - 1$ を $2 (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.2.1

$x - 1$ を ${(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

ステップ 1.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x - 1}$

ステップ 1.4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$\frac{2}{(2) - 1}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{1}$

ステップ 1.5.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $2$ と与えられた点 $(2, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 \cdot (x - 2)$

ステップ 2.3.2

$2 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

ステップ 2.3.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$y = 2 x - 4$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例