微分積分例

$\int \frac{1}{a x + b} d x$

ステップ 1

$u = a x + b$ とします。次に $d u = a d x$ すると、 $\frac{1}{a} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = a x + b$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$a x + b$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a x + b]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $a x + b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [a x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]$

ステップ 1.1.3.3

$a$ に $1$ をかけます。

$a + \frac{d}{d x} [b]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$a + 0$

ステップ 1.1.4.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$a$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{a} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{a}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u a} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{a}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{a}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{a} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{a} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

$\frac{1}{a} \ln (| u |) + C$

ステップ 5.2

$\frac{1}{a}$ と $\ln (| u |)$ をまとめます。

$\frac{\ln (| u |)}{a} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $a x + b$ で置き換えます。

$\frac{\ln (| a x + b |)}{a} + C$

微分積分 例

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