微分積分例

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (\sqrt{x})$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.8

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.11

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 1.1.12

式を簡約します。

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ステップ 1.1.12.1

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.13.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.13.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 1.1.13.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

ステップ 1.1.13.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.1.13.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{1}}$

ステップ 1.1.13.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 x}$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

ステップ 2

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 4.2

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ を $1 {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$1 {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 4.3

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

${u_{2}}^{2} + C$

ステップ 5

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (\sqrt{x})$ で置き換えます。

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$

微分積分 例

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