微分積分例

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2.2

$\sqrt{x}$ を移動させます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

ステップ 1.2.4

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

ステップ 1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

ステップ 1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

ステップ 1.2.7

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

ステップ 1.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

ステップ 1.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

ステップ 1.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

ステップ 1.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

ステップ 1.2.7.5

簡約します。

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

ステップ 2

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (\sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} d u_{1} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \cdot 2 d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6.3

$2$ を $\sqrt{u_{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\int 2 \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 7

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \int \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 10

$\frac{2}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 11

$u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。次に $d u_{3} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{3} = d u_{1}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

ステップ 11.1.2

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 11.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} (1 \cdot 2) d u_{3})$

ステップ 12.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot 2 d u_{3})$

ステップ 12.1.3

$\frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}} \cdot 2}{2 u_{3}} d u_{3})$

ステップ 12.1.4

$2$ を $\sqrt{u_{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

ステップ 12.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

ステップ 12.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 12.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{3}}$ を ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 12.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.3.2

指数を足して $u_{3}$ に ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$u_{3}$ に ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.1

$u_{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.3.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} d u_{3})$

ステップ 12.4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{3})$

ステップ 12.4.2

${({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{3})$

ステップ 12.4.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3})$

ステップ 12.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

ステップ 13

べき乗則では、 ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15.2

$u_{3}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 15.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.1.2

$\frac{4}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.1.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.3

まとめる。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.4.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) + C$

ステップ 16.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 16.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 16.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.1

$2$ を $1 (4 x^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 16.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.5.2.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 (3)} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 16.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 16.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 16.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例