微分積分例

$\int \frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 - e^{x}$ とします。次に $d u = - e^{x} d x$ すると、 $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 - e^{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$- e^{x}$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

ステップ 2

分数の前に負数を移動させます。

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \int u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- (- u^{- 1} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- (- u^{- 1} + C)$ を $- - \frac{1}{u} + C$ に書き換えます。

$- - \frac{1}{u} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{u} + C$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{u}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{u} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 - e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 - e^{x}} + C$

微分積分 例

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