微分積分例

$\int x \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{u}{2}$ と $\sin (u)$ をまとめます。

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.2

$\frac{u \sin (u)}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

ステップ 2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = \sin (u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

ステップ 6.2

$\int \cos (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

ステップ 7

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

ステップ 8

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ を $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.3.2

$2$ を $- 2 x \cos (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.4

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.5

$\cos (2 x)$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

ステップ 10.6

$\frac{1}{4}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 10.7

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

微分積分 例

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