微分積分例

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 1

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ を $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ に書き換えます。

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.3

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.3.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.4

$- e^{0}$ を簡約します。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.5

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.5.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.6

$- e^{0}$ を簡約します。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 3.1.8

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.8.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

ステップ 3.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

ステップ 3.1.8.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

ステップ 3.1.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

ステップ 3.1.10

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 3.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

ステップ 4

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2$ と $\frac{u_{1}}{2}$ をまとめます。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $- 2 u_{1}$ で因数分解します。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.3

式を書き換えます。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 5.2.2.4

$- u_{1}$ を $1$ で割ります。

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

ステップ 8

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

ステップ 9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

ステップ 10

$u_{2} = - u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = - d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u_{2} = - u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$- u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

ステップ 10.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- u_{1}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 11

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 12

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 14.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

ステップ 14.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- u_{1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

ステップ 14.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

ステップ 15.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

ステップ 15.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{- 2 x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

微分積分 例

微分積分例