微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \sin (2 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

ステップ 1.3.1.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 1.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.4

$u_{2} = \sin (2 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

ステップ 1.5.1.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \sin (π)$

ステップ 1.5.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$u_{upper} = \sin (0)$

ステップ 1.5.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

${u_{2}}^{5}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{5}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ および $\frac{\sqrt{3}}{2}$ で $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

ステップ 5.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

ステップ 5.2.3

$0$ から $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ を引きます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

ステップ 5.3.2

$2$ に $6$ をかけます。

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

10進法形式：

$- 0.03515625$

微分積分 例

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