微分積分例

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 8 x d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$8 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.2

指数を足して $u$ に $u^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

$u$ に $u^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 2.2.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

ステップ 2.3

$u^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ を $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 5.2

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ を $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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