微分積分例

$\int e^{- x^{4}} (- 4 x^{3}) d x$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2 x} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\int e^{- {u_{1}}^{2}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 3

$- 2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- 2 \int e^{- {u_{1}}^{2}} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- {u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $- {u_{1}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u_{1})$

ステップ 4.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 u_{1}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 5.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 6

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 7

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 9.3

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{u_{2}} + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を $- {u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{- {(x^{2})}^{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例