微分積分例

$\int_{0}^{4} \frac{5}{3 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = 3 x + 1$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u = 3 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 3 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 4 + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 12 + 1$

ステップ 1.5.2

$12$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 13$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 13$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{5}{u}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{u \cdot 3} d u$

ステップ 2.2

$3$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{13} \frac{5}{3 u} d u$

ステップ 3

$\frac{5}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{3} \int_{1}^{13} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{5}{3} \ln (| u |)]_{1}^{13}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$13$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\frac{5}{3} ((\ln (| 13 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{5}{3} \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$

ステップ 5.2.2

$\frac{5}{3}$ と $\ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})$ をまとめます。

$\frac{5 \ln (\frac{| 13 |}{| 1 |})}{3}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $13$ の間の距離は $13$ です。

$\frac{5 \ln (\frac{13}{| 1 |})}{3}$

ステップ 5.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{5 \ln (\frac{13}{1})}{3}$

ステップ 5.3.3

$13$ を $1$ で割ります。

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5 \ln (13)}{3}$

10進法形式：

$4.27491559 \dots$

微分積分 例

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