微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} - 7 x - 5}{2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

ステップ 2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{2 u_{1}} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ すると、 $2 d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ です。

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $\frac{u_{1}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 4.1.3.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ は $u_{1}$ について定数なので、 $u_{1}$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

ステップ 5.3

$\frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int \frac{(2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5) \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 5.4

$2$ を $2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{2 (2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5)}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 6

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 7.3

$\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 8

$2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ を $2 u_{2} + 1$ で割ります。

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ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 u_{2}$

$1$

$2 {u_{2}}^{2}$

$7 u_{2}$

$5$

ステップ 8.2

被除数 $2 {u_{2}}^{2}$ の最高次項を除数 $2 u_{2}$ の最高次項で割ります。

					$u_{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			+	$2 {u_{2}}^{2}$	+	$u_{2}$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 u^{2} + u$ の符号をすべて変更します。

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$

ステップ 8.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

ステップ 8.7

被除数 $- 8 u_{2}$ の最高次項を除数 $2 u_{2}$ の最高次項で割ります。

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

ステップ 8.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					-	$8 u_{2}$	-	$4$

ステップ 8.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 u_{2} - 4$ の符号をすべて変更します。

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$

ステップ 8.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$
							-	$1$

ステップ 8.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int u_{2} - 4 - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u_{2} d u_{2} + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 10

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 12

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

ステップ 13

$u_{3} = 2 u_{2} + 1$ とします。次に $d u_{3} = 2 d u_{2}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$u_{3} = 2 u_{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2 u_{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

ステップ 13.1.2

総和則では、 $2 u_{2} + 1$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ です。

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 13.1.3

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $u_{2}$ に対する $2 u_{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 13.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 13.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

ステップ 13.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$1$ は $u_{2}$ について定数なので、 $u_{2}$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 13.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 13.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{1}{u_{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

ステップ 14.2

$2$ を $u_{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 16

$\frac{1}{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $\ln (| u_{3} |)$ です。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

ステップ 17

簡約します。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} - 4 u_{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

ステップ 18

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

ステップ 18.2

$u_{3}$ のすべての発生を $2 u_{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

ステップ 18.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

ステップ 18.4

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 18.5

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 1 - 1}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.2

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 0}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 2) \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 \cdot - 2 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 2 (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

ステップ 19.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |) + C$

ステップ 19.6

$2 x + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.6.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |) + C$

ステップ 19.6.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

ステップ 19.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

ステップ 19.7.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

ステップ 19.8

$\ln (| 2 x + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

ステップ 20

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例