微分積分例

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{3}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ すると、 $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \frac{3}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{3}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x^{- 2}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u = \frac{3}{x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

ステップ 1.3

$3$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = 3$

ステップ 1.4

$u = \frac{3}{x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

ステップ 1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

ステップ 2

$- \frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

ステップ 4

$1$ および $3$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

ステップ 5

簡約します。

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

10進法形式：

$5.78908503 \dots$

微分積分 例

微分積分例