微分積分例

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (x)$ を $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を利用し $1$ を $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ に変換します。

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ から ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ を引きます。

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

ステップ 3.2

${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ と ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ をたし算します。

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

ステップ 3.3

$2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 4

独立変数に $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ を掛ける

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 5

まとめる。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 6

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

ステップ 7

正弦と余弦に関して $\sec (\frac{x}{2})$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

ステップ 8

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.1

積の法則を $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ に当てはめます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8.2

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ を $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

ステップ 8.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

ステップ 8.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 10

$u = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 10.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 10.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

ステップ 11.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

ステップ 11.3

$2$ を $\sec^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

ステップ 12

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 13.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 13.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 13.3

$\int \sec^{2} (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\int \sec^{2} (u) d u$

ステップ 14

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$\tan (u) + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$

微分積分 例

微分積分例