微分積分例

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

ステップ 1

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

ステップ 2

分数を複数の分数に分割します。

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 5

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 6

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 6.1

${(u + 2)}^{2}$ を $(u + 2) (u + 2)$ に書き換えます。

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 6.5

$u$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 7

$u$ を $1$ 乗します。

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 8

$u$ を $1$ 乗します。

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 11

$2 u$ と $2 u$ をたし算します。

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 12

$u^{2} + 4 u + 4$ を $u$ で割ります。

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ステップ 12.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

ステップ 12.2

被除数 $u^{2}$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

ステップ 12.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

ステップ 12.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

ステップ 12.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

ステップ 12.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

ステップ 12.7

被除数 $4 u$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

ステップ 12.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

ステップ 12.9

式は被除数から引く必要があるので、 $4 u + 0$ の符号をすべて変更します。

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

ステップ 12.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

ステップ 12.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 13

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 14

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 15

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ と $u^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 17

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 18

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 19

$7$ は $u$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 20

$u + 2$ を $u$ で割ります。

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ステップ 20.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$u$

$0$

$u$

$2$

ステップ 20.2

被除数 $u$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

ステップ 20.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

ステップ 20.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u + 0$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

ステップ 20.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

ステップ 20.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 21

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 22

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 23

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 24

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

ステップ 25

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

ステップ 26

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 27

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 28

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

ステップ 29

簡約します。

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ステップ 29.1

簡約します。

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

ステップ 29.2

簡約します。

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ステップ 29.2.1

$8 u$ と $7 u$ をたし算します。

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

ステップ 29.2.2

$8 \ln (| u |)$ と $14 \ln (| u |)$ をたし算します。

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

ステップ 29.2.3

$22 \ln (| u |)$ から $3 \ln (| u |)$ を引きます。

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

ステップ 30

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$

微分積分 例

微分積分例