微分積分例

$\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。次に $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = e^{x^{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{x^{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2}} (2 x)$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = e^{0}$

ステップ 1.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u_{2} = e^{x^{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{1^{2}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = e^{1}$

ステップ 1.5.2

簡約します。

$u_{upper} = e$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$e$ および $1$ で $\frac{1}{2} u_{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} e) - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $e$ をまとめます。

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.85914091 \dots$

微分積分 例

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