微分積分例

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

ステップ 1

$u = x^{3} + 5$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3} + 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3} + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{3} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3} + 5$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$u_{lower} = - 1 + 5$

ステップ 1.3.2

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$u_{lower} = 4$

ステップ 1.4

$u = x^{3} + 5$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 5$

ステップ 1.5.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$u_{upper} = 6$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$6$ および $4$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{2}{3}$ と $6^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

ステップ 4.3.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

ステップ 4.3.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

ステップ 4.3.2.2

$- 8$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

ステップ 4.3.2.3

$- 8$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

ステップ 4.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

10進法形式：

$4.46462563 \dots$

微分積分 例

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