微分積分例

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = 1 + \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 1 + \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$1 + \frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $1 + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - x^{- 2}$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.1.4.2

$0$ から $\frac{1}{x^{2}}$ を引きます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - \sqrt{u} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $1 + \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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