微分積分例

$\int \frac{5 x \sqrt[3]{5 x^{2} + 3}}{3} d x$

ステップ 1

$u = 5 x^{2} + 3$ とします。次に $d u = 10 x d x$ すると、 $\frac{1}{10} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 5 x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$5 x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $5 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$10 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{3} \cdot \frac{1}{10} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{5 \sqrt[3]{u}}{3}$ に $\frac{1}{10}$ をかけます。

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{3 \cdot 10} d u$

ステップ 2.2

$3$ に $10$ をかけます。

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{30} d u$

ステップ 2.3

$5$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ を $5 \sqrt[3]{u}$ で因数分解します。

$\int \frac{5 (\sqrt[3]{u})}{30} d u$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{5 \cdot 6} d u$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{5 \cdot 6} d u$

ステップ 2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{6} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{6} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ を $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 6.2

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ を $\frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(5 x^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

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