微分積分例

$\int (8 x - 12) {(4 x^{2} - 12 x)}^{4} d x$

ステップ 1

$u = 4 x^{2} - 12 x$ とします。次に $d u = (8 x - 12) d x$ すると、 $\frac{1}{8 x - 12} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 4 x^{2} - 12 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{2} - 12 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $4 x^{2} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$8 x - 12$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{4} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 12 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} {(4 x^{2} - 12 x)}^{5} + C$

微分積分 例