微分積分例

$\int 4 {(6 x + 1)}^{5} d x$

ステップ 1

$u = 6 x + 1$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 6 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $6 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 4 u^{5} \frac{1}{6} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{6}$ と $4$ をまとめます。

$\int \frac{4}{6} u^{5} d u$

ステップ 2.2

$\frac{4}{6}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$\int \frac{4 u^{5}}{6} d u$

ステップ 2.3

$4$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $4 u^{5}$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{6} d u$

ステップ 2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{2 (3)} d u$

ステップ 2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{2 (2 u^{5})}{2 \cdot 3} d u$

ステップ 2.3.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{2 u^{5}}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{2}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} \int u^{5} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ を $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

ステップ 5.2

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ を $\frac{1}{9} u^{6} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{9} u^{6} + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $6 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} {(6 x + 1)}^{6} + C$

微分積分 例

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