微分積分例

$\int 5 \sqrt{5 x - 1 d x} d x$

ステップ 1

$u = 5 x - 1 d x$ とします。次に $d u = (- d + 5) d x$ すると、 $\frac{1}{- d + 5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 5 x - 1 d x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$5 x - 1 d x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x - 1 d x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $5 x - 1 d x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 1 d x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1 d$ を $- d$ に書き換えます。

$5 + \frac{d}{d x} [- d x]$

ステップ 1.1.4.2

$- d$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- d x$ の微分係数は $- d \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 - d \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 - d \cdot 1$

ステップ 1.1.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 - d$

ステップ 1.1.5

項を並べ替えます。

$- d + 5$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 5 \sqrt{u} \frac{1}{- d + 5} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{- d + 5}$ と $5$ をまとめます。

$\int \frac{5}{- d + 5} \sqrt{u} d u$

ステップ 2.2

$\frac{5}{- d + 5}$ と $\sqrt{u}$ をまとめます。

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{- d + 5} d u$

ステップ 3

$\frac{5}{- d + 5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{5}{- d + 5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{5}{- d + 5} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5}{- d + 5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

$\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3$ を $- d + 5$ の左に移動させます。

$\frac{10}{3 \cdot (- d + 5)} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.3.2

$\frac{10}{3 (- d + 5)}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $5 x - 1 d x$ で置き換えます。

$\frac{10 {(5 x - 1 d x)}^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$

微分積分 例

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