微分積分例

$\int {(3 x^{4} + 2)}^{4} (12 x^{3}) d x$

ステップ 1

$12$ を ${(3 x^{4} + 2)}^{4}$ の左に移動させます。

$\int 12 {(3 x^{4} + 2)}^{4} x^{3} d x$

ステップ 2

$u = 3 x^{4} + 2$ とします。次に $d u = 12 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{12 x^{3}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 3 x^{4} + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$3 x^{4} + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $3 x^{4} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} + 0$

ステップ 2.1.4.2

$12 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{4} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $3 x^{4} + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} {(3 x^{4} + 2)}^{5} + C$

微分積分 例