微分積分例

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 3.4.3

簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 - 1}{3}$

ステップ 3.4.3.2

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{7}{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{7}{3}$

10進法形式：

$2.\overline{3}$

帯分数形：

$2 \frac{1}{3}$

微分積分 例

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