微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

ステップ 1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

ステップ 8.2

$2$ および $1$ で $2 u^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\frac{2}{3}$ と $2^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

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ステップ 8.3.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.3.2.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.4

式を簡約します。

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ステップ 8.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9

指数を足して $2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 9.1

$2$ に $2^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 9.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

ステップ 10.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.2

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

ステップ 11.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

10進法形式：

$0.39052429 \dots$

微分積分 例

微分積分例