微分積分例

$\int (18 x^{2} + 3) {(6 x^{3} + 3 x)}^{6} d x$

ステップ 1

$u = 6 x^{3} + 3 x$ とします。次に $d u = (18 x^{2} + 3) d x$ すると、 $\frac{1}{18 x^{2} + 3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 6 x^{3} + 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x^{3} + 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} + 3 x]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $6 x^{3} + 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $6$ をかけます。

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$18 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 x^{2} + 3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$18 x^{2} + 3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{6} d u$

ステップ 2

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $6 x^{3} + 3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{7} {(6 x^{3} + 3 x)}^{7} + C$

微分積分 例