微分積分例

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

項を並べ替えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.2

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\int \sec (t) d t$

ステップ 4

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

ステップ 5

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

微分積分 例

微分積分例