微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$\csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ です。

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{3 π}{4}$ および $\frac{π}{4}$ で $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ の値を求めます。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

ステップ 3.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

ステップ 3.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

ステップ 3.2.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.2

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.5.2

$\csc (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\sqrt{2}$ です。

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ は約 $2.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ステップ 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ は約 $0.41421356$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ に $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ をかけます。

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

ステップ 4.2

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ に $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ をかけます。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

ステップ 4.3

FOIL法を使って分母を展開します。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

ステップ 4.4

簡約します。

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

ステップ 4.5

$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

ステップ 4.6

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ を $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ に書き換えます。

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

ステップ 4.7

$\ln (\sqrt{2} + 1)$ と $\ln (\sqrt{2} + 1)$ をたし算します。

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

10進法形式：

$1.76274717 \dots$

微分積分 例

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