微分積分例

$\int \frac{20 x^{3} + 8}{5 x^{4} + 8 x + 3} d x$

ステップ 1

$u = 5 x^{4} + 8 x + 3$ とします。次に $d u = (20 x^{3} + 8) d x$ すると、 $\frac{1}{20 x^{3} + 8} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 5 x^{4} + 8 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$5 x^{4} + 8 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 8 x + 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $5 x^{4} + 8 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$20 x^{3} + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} + 8 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$20 x^{3} + 8$ と $0$ をたし算します。

$20 x^{3} + 8$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $5 x^{4} + 8 x + 3$ で置き換えます。

$\ln (| 5 x^{4} + 8 x + 3 |) + C$

微分積分 例

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