微分積分例

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ を $u - 4$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u - 4}$ を ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.5

簡約します。

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.2

$\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

ステップ 2.3

$2$ を $u^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

$(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 5.6

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

ステップ 9

$- 4$ は $u$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 13.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ で因数分解します。

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ステップ 13.3.1.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.1.3

$2$ を $2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.2

指数を足して ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 13.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.2.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.3

${(x^{2} + 4)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.3.4

$4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.4

まとめる。

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.5

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.6

式を書き換えます。

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 13.7

$x^{2} + 8$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

微分積分 例

微分積分例