微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2

$u = x^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ すると、 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = x^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 2.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 2.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 2.1.8

簡約します。

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ステップ 2.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$u = x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1

共通因数を約分します。

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.3.3.2

式を書き換えます。

$u_{lower} = 0^{1}$

ステップ 2.3.4

指数を求めます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

積の法則を $\frac{π^{2}}{4}$ に当てはめます。

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.2.2

簡約します。

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.5.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.5.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.3.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 2.5.3.3.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

ステップ 2.5.3.4

指数を求めます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

ステップ 3

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 5

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$2 (- 0 + \cos (0))$

ステップ 6.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- 0 + 1)$

ステップ 6.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$2 (0 + 1)$

ステップ 6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

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