微分積分例

$(\int x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x)$

ステップ 1

$u_{1} = x^{2} + 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 1.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{u_{1} - 1}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2} \ln (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2}$ と $\ln (u_{1})$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$u = \ln (u_{1})$ と $d v = \sqrt{u_{1} - 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5.2

$\ln (u_{1})$ と $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (u_{1}) (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5.3

$2$ を $\ln (u_{1})$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5.4

$\frac{2}{3}$ と ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

ステップ 5.5

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ に $\frac{1}{u_{1}}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3 u_{1}} d u_{1})$

ステップ 6

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$

ステップ 8

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$ を $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 9

括弧を削除します。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 10

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$ を $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $u_{1} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 11.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 12.1.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 12.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 12.1.4

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

ステップ 12.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.3.1.1

${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.1.2

${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.3.2

$2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.4

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$2 x^{3}$ を $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ で因数分解します。

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ステップ 12.4.1.1

$2 x^{3}$ を $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

ステップ 12.4.1.2

$2 x^{3}$ を $- 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

ステップ 12.4.1.3

$2 x^{3}$ を $2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

ステップ 12.4.2

$- 1 \ln (| x^{2} + 1 |)$ を $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

ステップ 12.4.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

ステップ 12.5

まとめる。

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

ステップ 12.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

ステップ 12.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{3} + C$

ステップ 12.7

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}) + C$

微分積分 例

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