微分積分例

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

ステップ 3

$(x - 4) x^{- 2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ に $x^{- 2}$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 4.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

ステップ 7

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 9.1.2

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 9.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 9.1.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 9.1.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 9.1.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

ステップ 9.1.3.6

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

ステップ 9.1.3.7

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

ステップ 9.1.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

ステップ 9.1.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 9.1.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

ステップ 9.1.3.7.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

ステップ 9.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

ステップ 9.3.3

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (2) - 2$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2) - 2$

10進法形式：

$- 1.30685281 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例