微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

ステップ 1

$u = e^{x} + 1$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = e^{x} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$e^{x} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 1.2

$u = e^{x} + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = e^{0} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = e^{x} + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = e^{1} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

$u_{upper} = e + 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

ステップ 3

$e + 1$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$e + 1$ は約 $3.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

10進法形式：

$0.62011450 \dots$

微分積分 例

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