微分積分例

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = \frac{1}{x}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ すると、 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{1}{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$u = \frac{1}{x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

ステップ 1.3.2

$\frac{π}{6}$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

ステップ 1.4

$u = \frac{1}{x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.5.2

$\frac{3 π}{2}$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 3

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

ステップ 4

$\frac{3 π}{2}$ および $\frac{π}{6}$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 5

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

ステップ 6.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

ステップ 6.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 6.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 6.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

ステップ 6.5.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$- \frac{- 3}{2}$

ステップ 6.6

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{3}{2}$

ステップ 6.7

$- - \frac{3}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{3}{2})$

ステップ 6.7.2

$\frac{3}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3}{2}$

10進法形式：

$1.5$

帯分数形：

$1 \frac{1}{2}$

微分積分 例

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