微分積分例

$\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x$

ステップ 1

$u = 1 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u = 1 - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = 1 - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 2$

ステップ 1.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

ステップ 3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

ステップ 4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

ステップ 4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (e^{- 1} - 1)$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- (e^{- 1} - 1)$

10進法形式：

$0.63212055 \dots$

微分積分 例

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