微分積分例

$\int \sqrt{\cos (6 x)} \sin (6 x) d x$

ステップ 1

$u_{2} = \cos (6 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 6 \sin (6 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{6} d u_{2} = \sin (6 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \cos (6 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\cos (6 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $6 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 \sin (6 x) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- 6 \sin (6 x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{- 6} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \sqrt{u_{2}} (- \frac{1}{6}) d u_{2}$

ステップ 2.2

$\sqrt{u_{2}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\int - \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{6} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 8

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (6 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{9} {\cos (6 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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